역행렬(Matrix Inverse)

역행렬 이란? A 행렬이 있을때, A * B = I(단위행렬)이라면 B는 A의 역행렬이다.

*단 A 행렬은 정방행렬이어야 한다.

A * B = I 라면, B * A = I도 된다.

즉, 교환법칙이 성립한다.

AB = BA = I인 B를 A의 역행렬 $$A^{-1}$$

역행렬을 구하는 방법 2가지

1) 가우스 소거법

2) 행렬식, 수반 행렬

1) 가우스 소거법

연립방정식으로 푸는 것이다.

1 - 1) 2X2 정방행렬 예제

추가 설명 : | 기준으로 왼쪽이 단위 행렬이 된다면, 오른쪽은 A의 역행렬이다.

1) 왼쪽을 단위행렬로 만들어 주기 위해 우선 열 부분에 2를 0으로 바꾸기 위해 1행 각 요소에 *(-2)를 곱하고 그 결과를 2열 요소에 더한다.

2) 이후 3을 없애주기 위해 2행은 그대로 두고 2행에 각 요소에 *(-3)을 곱해주고 그 결과를 1행 각 요소에 더해준다.

3) | 기준으로 좌측이 단위행렬이 된것을 볼 수 있다. | 기준 우측은 A의 역행렬이 된다. A의 역행렬을 A랑 곱한다면 결과값으로 단위행렬이 나온다.

1 - 2) 3x3 정방행렬 예제

추가 설명 : 일단 각 행에 1개의 1이 존재해야 한다.(|좌측기준), 마지막으로 단위행렬이 되도록 순서를 바꿔주면 된다.

추가 설명 : 기본행연산을 하던중에, 행 각 요소가 모두 0이라면 어떻게 해서든 하나만 1로 바뀔 수가 없다. 즉, 역행렬은 존재하지 않는다.

2) 행렬식, 수반 행렬 활용

추가 설명 : 이건 일종의 공식이다.(위에는 행렬식, 밑에는 수반행렬) 빨간색 X부분에서 d,a는 기존 위치에서 순서만 바뀌고, -b, -c는 부호만 바뀌었다고 생각하면 더 쉽게 외울수 있다.

<역행렬의 성질>

대표적으로 보면 순서가 바뀐다는 성질이 있다.

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